Дано:
V1 = 0,01 м³,
P1 = 0,1 МПа,
T1 = 300 K,
T2 = 320 K,
T3 = 350 K.
Найти:
Работу, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 3.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся первым законом термодинамики:
ΔU = Q - W,
где ΔU - изменение внутренней энергии системы, Q - количество теплоты, полученное системой, W - работа, совершенная системой.
Первым процессом является изохорный процесс (объём не меняется):
ΔU1 = Q1,
где Q1 - количество теплоты, полученное системой в первом процессе.
Вторым процессом является изобарный процесс (давление постоянно):
Q2 = ΔH2 = nCpΔT2,
где Q2 - количество теплоты, полученное системой во втором процессе, ΔH2 - изменение энтальпии системы, n - количество вещества газа, Cp - удельная теплоёмкость при постоянном давлении, ΔT2 = T3 - T2 - изменение температуры второго процесса.
Третьим процессом является процесс перехода из состояния 2 в состояние 3. Так как давление постоянно, то работа определяется по формуле:
W3 = PΔV3,
где ΔV3 = V3 - V2 - изменение объёма в третьем процессе.
Так как газ идеальный, используем уравнение состояния идеального газа PV = nRT:
P1V1/T1 = P2V2/T2 = P3V3/T3.
Используя это соотношение для нахождения V2 и V3, получим:
V2 = V1,
V3 = V1T3/T1 = 0.01 м³ * 350 K / 300 K ≈ 0.0117 м³.
Тогда ΔV3 = V3 - V2 = 0.0117 м³ - 0.01 м³ = 0.0017 м³.
Также используем уравнение состояния для нахождения P2:
P2 = P1T2/T1 = 0.1 МПа * 320 K / 300 K = 0.1067 МПа.
Таким образом, мы нашли все величины для вычисления работы W3:
W3 = P2ΔV3 = 0.1067 МПа * 0.0017 м³ = 0.000181 МДж.
Теперь найдем общее изменение внутренней энергии системы:
ΔU = ΔU1 + ΔU2 + ΔU3 = Q1 + Q2 - W3.
Из уравнения состояния идеального газа находим n:
n = PV/RT = P1V1/RT1 = 0.1 МПа * 0.01 м³ / (8.31 Дж/(моль·К) * 300 K) ≈ 0.004 моль.
Так как газ одноатомный, то Cp = (5/2)R.
Тогда:
Q1 = nCvΔT1 = (3/2)nRΔT1 = (3/2) * 8.31 Дж/(моль·К) * 0.004 моль * (320 K - 300 K) ≈ 0.1 кДж,
Q2 = nCpΔT2 = (5/2)nRΔT2 = (5/2) * 8.31 Дж/(моль·К) * 0.004 моль * (350 K - 320 K) ≈ 0.348 кДж.
Теперь можем найти работу W:
W = Q1 + Q2 - W3 ≈ 0.1 кДж + 0.348 кДж - 0.000181 МДж ≈ 0.448 кДж.
Ответ:
Работа, совершаемая газом при переходе из состояния 1 в состояние 3, равна примерно 0.448 кДж.