Дано:
n = 20 (общее количество студентов)
k1 = 8 (количество отличников)
k2 = 5 (количество хорошистов)
m = 9 (количество отобранных студентов)
Найти:
а) Вероятность того, что среди отобранных студентов ровно 5 отличников и 2 хорошиста.
б) Вероятность того, что среди отобранных студентов не меньше 7 отличников.
в) Вероятность того, что среди отобранных студентов не больше двух хорошистов.
Решение с расчетом:
а) Для нахождения вероятности такого события используем формулу для вычисления вероятности комбинации:
P = (C(8, 5) * C(5, 2)) / C(20, 9)
Где C(n, m) - это количество сочетаний из n по m.
C(8, 5) = 8! / (5!(8-5)!)
C(5, 2) = 5! / (2!(5-2)!)
C(20, 9) = 20! / (9!(20-9)!)
Подставим значения в формулу:
P = (8! / (5!(8-5)!) * 5! / (2!(5-2)!)) / (20! / (9!(20-9)!))
P ≈ 0.033
Ответ: P ≈ 0.033
б) Вероятность того, что среди отобранных студентов не меньше 7 отличников равна сумме вероятностей выбора 7, 8 или 9 отличников. Вычислим эти вероятности и сложим их.
P = (C(8, 7) * C(12, 2) + C(8, 8) * C(12, 1) + C(8, 9) * C(12, 0)) / C(20, 9)
Подставим значения в формулу:
P = (8! / (7!(8-7)!) * 12! / (2!(12-2)!) + 8! / (8!(8-8)!) * 12! / (1!(12-1)!) + 8! / (9!(8-9)!) * 12! / (0!(12-0)!)) / (20! / (9!(20-9)!))
P ≈ 0.001
Ответ: P ≈ 0.001
в) Вероятность того, что среди отобранных студентов не больше двух хорошистов равна сумме вероятностей выбора 0, 1 или 2 хорошистов. Вычислим эти вероятности и сложим их.
P = (C(5, 0) * C(15, 9) + C(5, 1) * C(15, 8) + C(5, 2) * C(15, 7)) / C(20, 9)
Подставим значения в формулу:
P = (5! / (0!(5-0)!) * 15! / (9!(15-9)!) + 5! / (1!(5-1)!) * 15! / (8!(15-8)!) + 5! / (2!(5-2)!) * 15! / (7!(15-7)!)) / (20! / (9!(20-9)!))
P ≈ 0.840
Ответ: P ≈ 0.840