Дано:
Количество испытаний: n = 4040
Количество появлений «герба»: m = 2048
Найти:
Вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклонится от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более, чем в опыте Бюффона.
Решение с расчетом:
В опыте Бюффона вероятность появления герба равна p = m/n = 2048/4040.
По закону больших чисел, с увеличением числа испытаний относительная частота появления герба должна стремиться к его вероятности. Таким образом, мы можем использовать неравенство Чебышева для оценки вероятности отклонения относительной частоты от вероятности на заданную величину.
Формула неравенства Чебышева:
P(|X - μ| >= ε) <= σ^2 / (n * ε^2),
где X - случайная величина (относительная частота), μ - математическое ожидание (вероятность), σ^2 - дисперсия.
Для данной задачи:
σ^2 = p * (1 - p),
где p - вероятность появления герба.
Подставим значения и рассчитаем:
σ^2 = (2048/4040) * (1 - 2048/4040) = 0.25,
Таким образом, нам нужно найти вероятность отклонения относительной частоты на заданную величину при n = 4040:
P(|X - μ| <= |p - X/n|) = 1 - P(|X - μ| > |p - X/n|).
По свойству модуля, |p - X/n| = |(m/n) - X/n| = |m - X|/n.
Для оценки вероятности можно использовать неравенство Чебышёва:
P(|X - μ| > ε) <= σ^2 / ε^2.
Таким образом,
P(|X - μ| > |m - X|/n) <= 0.25 / [(m/n) - X/n]^2.
Подставляем значения и получаем:
P(|X - μ| <= |m - X|/n) >= 1 - 0.25 / [(m/n) - X/n]^2.
Для того чтобы определить вероятность отклонения относительной частоты от вероятности на заданную величину, найдем такое значение k, что
P(|X/n - p| <= k) = 0.5.
Так как p = m/n = 2048/4040, то k = |m/n - 0.5| = |2048/4040 - 0.5| = 0.012.
Таким образом, искомая вероятность отклонения относительной частоты от вероятности на заданную величину не более, чем в опыте Бюфона, равна:
P(|X/n - p| <= |m - X|/n) >= 1 - 0.25 / [(m/n) - X/n]^2 >= 1 - 0.25 / (k^2 * n).
Подставляем значения и получаем:
P(|X/n - p| <= |m - X|/n) >= 0.962.
Ответ: Вероятность того, что при повторении опыта Бюфона относительная частота появления «герба» отклонится от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более, чем в опыте Бюфона, равна не менее 0.962.