Дано:
В правильном треугольнике со стороной, равной 5, случайным образом выбрана точка.
Найти:
a) Вероятность того, что расстояние от нее до ближайшей вершины будет меньше 1.
b) Вероятность того, что она падает в круг, вписанный в этот треугольник.
Решение с расчетом:
a) Для вероятности того, что расстояние от случайно выбранной точки до ближайшей вершины будет меньше 1:
Расстояние от центра треугольника до его вершины: 5 / √3 ≈ 2.89
Радиус круга, целиком помещенного в треугольник: 5 / √3 ≈ 2.89
Таким образом, круг с радиусом менее 1 не поместится внутрь треугольника
Следовательно, вероятность этого события равна 0.
b) Для вероятности того, что точка попадет в круг, вписанный в треугольник:
Площадь круга: π * r^2 = π * (5 / √3)^2 ≈ 9.62
Площадь треугольника: √3 / 4 * a^2 = √3 / 4 * 5^2 = 25√3 / 4 ≈ 10.83
Таким образом, вероятность попадания точки во вписанный круг: 9.62 / 10.83 ≈ 0.89
Ответ:
a) Вероятность того, что расстояние от выбранной точки до ближайшей вершины будет меньше 1, равна 0.
b) Вероятность того, что точка попадет в круг, вписанный в треугольник, составляет примерно 0.89 или 89%.