Дано:
Длина волны красного цвета, λ = 760 нм = 0.76 мкм,
Длина волны фиолетового цвета, λ_v = 380 нм = 0.38 мкм,
Оптическая сила линзы, D = 3 дптр.
а) Найдем расстояние до экрана для получения чёткого изображения интерференционных максимумов.
Интерференционные максимумы для дифракционной решетки происходят под углом, определяемым условием дифракции:
dsinθ = mλ,
где d - расстояние между соседними щелями, m - порядок интерференции, λ - длина волны света.
Для собирающей линзы, фокусное расстояние f связано с оптической силой D следующим образом:
D = 1/f,
f = 1/D.
Из формулы для оптической силы линзы и условия для интерференционных максимумов, можем выразить расстояние от линзы до экрана:
d = mfλf / d,
где f - фокусное расстояние линзы.
б) Найдем расстояние до центрального интерференционного максимума для яркой красной полосы.
Центральный максимум соответствует m = 0, поэтому для него sinθ = 0, и он находится в центре.
Для определения расстояния от центрального максимума до яркой красной полосы воспользуемся формулой для интерференционных максимумов:
dsinθ = mλ,
где m = 1 для первого максимума после центрального.
в) Найдем ширину всего спектра первого порядка.
Для первого порядка интерференции, используя условие дифракции, можно найти угловой размер спектра:
Δθ = λ/d.
Расстояние на экране, на котором виден спектр первого порядка, можно определить, зная ширину щели d и угловой размер спектра Δθ:
L = d tan(Δθ).
Теперь приступим к решению.
а) Найдем расстояние до экрана для получения чёткого изображения интерференционных максимумов:
d = mfλf / d = (250*10^3)*(0.76*10^-6)*(1/3) / 1 = 0.52 м.
б) Найдем расстояние до центрального интерференционного максимума для яркой красной полосы:
sinθ = mλ / d,
θ = sin^(-1)(mλ / d) = sin^(-1)(0.76*10^-6 / 1) = 4.54*10^-4 рад,
d = f tan(θ) = (1/3) * tan(4.54*10^-4) = 5.03 мм.
в) Найдем ширину всего спектра первого порядка:
Δθ = λ / d = 0.38*10^-6 / 1 = 0.38*10^-6 рад,
L = d tan(Δθ) = 1 * tan(0.38*10^-6) = 0.38*10^-6 м = 0.38 мкм.