Question

Вокруг некоторой звезды движутся по круговым орбитам две планеты. Масса первой планеты в 2 раза меньше, чем масса второй, а радиус орбиты первой планеты в 2 раза меньше, чем радиус орбиты второй планеты. а) На какую планету действует большая сила притяжения со стороны звезды? Во сколько раз большая? б) Чему равно отношение скоростей планет? в) Чему равно отношение периодов обращения планет?

Answer 1

Дано:
Масса первой планеты: m1
Масса второй планеты: m2 = 2m1
Радиус орбиты первой планеты: r1
Радиус орбиты второй планеты: r2 = 2r1

а) Найдем, на какую планету действует большая сила притяжения со стороны звезды и во сколько раз.

Сила притяжения между звездой и планетой выражается через закон всемирного тяготения:
F = G * (m1 * m2) / r^2

Для первой планеты:
F1 = G * m1 * (2m1) / r1^2 = 2 * G * m1^2 / r1^2

Для второй планеты:
F2 = G * 2m1 * (2m1) / (2r1)^2 = 2 * G * 2m1^2 / (4r1^2) = 0.5 * G * 2m1^2 / r1^2 = G * m1^2 / r1^2

Отношение сил:
F2 / F1 = (G * m1^2 / r1^2) / (2 * G * m1^2 / r1^2) = 1/2

Ответ:
а) Большая сила притяжения действует на вторую планету, и это отношение равно 1/2.

б) Найдем отношение скоростей планет. Для круговой орбиты скорость зависит от радиуса oрбиты:
v = √(G * M / r)

Для первой планеты:
v1 = √(G * M / r1)

Для второй планеты:
v2 = √(G * M / r2) = √(G * M / (2r1))

Отношение скоростей:
v2 / v1 = √(G * M / (2r1)) / √(G * M / r1) = √(r1 / (2r1)) = 1 / √2 = √2 / 2

Ответ:
б) Отношение скоростей планет равно √2 / 2.

в) Найдем отношение периодов обращения планет. Период обращения связан с скоростью следующим образом:
T = 2πr / v

Для первой планеты:
T1 = 2πr1 / v1

Для второй планеты:
T2 = 2πr2 / v2 = 2π(2r1) / (√2 / 2)v1 = 4πr1 / (√2 / 2)√(G * M / r1)

Отношение периодов:
T2 / T1 = (4πr1 / (√2 / 2)√(G * M / r1)) / (2πr1 / √(G * M / r1)) = 2√2

Ответ:
в) Отношение периодов обращения планет равно 2√2.