Дано: p = 0,95, q = 1 - p = 0,05, n = 500, δ = 0,02
Найти: Вероятность отличия доли микросхем со сроком службы менее гарантированного от изготовленной доли не более, чем на 0,02
Решение:
1. Найдем математическое ожидание и дисперсию биномиального распределения:
M(X) = np = 500 * 0,95 = 475
D(X) = npq = 500 * 0,95 * 0,05 = 23,75
2. По центральной предельной теореме, распределение доли имеет нормальное распределение:
M(p) = p
D(p) = (pq) / n = (0,95 * 0,05) / 500 = 0,00095
σ(p) = √D(p) = √0,00095 ≈ 0,03083
3. Найдем стандартизированное значение:
Z = (p0 - p) / σ(p) = (0,5 - 0,95) / 0,03083 = -14,61
4. Найдем вероятность отличия доли от изготовленной не более, чем на 0,02:
P(|p0 - p| ≤ δ) = P(-δ ≤ p0 - p ≤ δ) = P(-0,02 ≤ p0 - p ≤ 0,02)
P(-0,02 ≤ p0 - p ≤ 0,02) = P(-0,02 * √n ≤ p0 - p ≤ 0,02 * √n)
P(-10 ≤ p0 - p ≤ 10) = P(-10 / σ(p) ≤ Z ≤ 10 / σ(p))
5. Найдем вероятность по таблице нормального распределения:
P(-10 / σ(p) ≤ Z ≤ 10 / σ(p)) ≈ P(0 ≤ Z ≤ 5) ≈ 1
Ответ: Вероятность того, что в партии из 500 штук доля микросхем со сроком службы менее гарантированного отличается от вероятности изготовления такой микросхемы не более, чем на 0,02, приближенно равна 1.