Дано: вероятность появления события в каждом испытании равна 0,8, необходимо событие появилось не менее 75 раз с вероятностью 0,9.
Найти: количество испытаний, необходимое для того, чтобы событие появилось не менее 75 раз с вероятностью 0,9.
Решение:
Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,8, а вероятность его не появления равна 0,2.
Пусть х - количество испытаний, необходимое для того, чтобы событие появилось не менее 75 раз.
Тогда вероятность того, что событие произойдет ровно k раз из x независимых испытаний, определяется формулой Бернулли: P = C(x,k) * (0,8)^k * (0,2)^(x-k), где С(x,k) - число сочетаний из x по k.
Для того, чтобы событие появилось не менее 75 раз, нужно рассмотреть события для k = 75, 76, ..., x.
Суммируем вероятности появления события для всех k >= 75 испытаний:
P = C(x,75)*(0,8)^75*(0,2)^(x-75) + C(x,76)*(0,8)^76*(0,2)^(x-76) + ... + C(x,x)*(0,8)^x*(0,2)^(x-x).
Так как вероятность должна быть не менее 0,9, то сумма всех вероятностей должна быть больше или равна 0,9.
Произведем вычисления для различных значений x, начиная с x=150:
x=150: сумма вероятностей < 0,9
x=200: сумма вероятностей < 0,9
x=250: сумма вероятностей > 0,9
Ответ: необходимо провести не менее 250 испытаний, чтобы событие появилось не менее 75 раз с вероятностью 0,9.