Дано:
Круг радиуса R, наугад бросается точка внутри этого круга.
Найти:
а) функцию распределения и плотность распределения расстояния этой точки до центра круга.
б) совместную функцию распределения полярных координат точки.
Решение с расчетом:
а) Функция распределения (F(x)) и плотность вероятности (f(x)) расстояния от точки до центра круга:
Пусть X - случайная величина, представляющая расстояние от точки до центра круга.
Функция распределения F(x) для случайной величины X определяется как вероятность того, что X не превышает значение x. Так как точка бросается наугад, то вероятность попадания внутрь круга зависит от отношения площади круга к площади окружности радиуса R, которая равна pi*R^2.
Таким образом, функция распределения будет равна:
F(x) = {0, если x < 0;
{x^2 / (R^2), если 0 <= x <= R;
{1, если x > R.
Плотность вероятности f(x) можно найти как производную функции распределения:
f(x) = dF(x) / dx = 2*x / (R^2), при 0 <= x <= R;
f(x) = 0, в остальных случаях.
б) Совместная функция распределения полярных координат точки:
Полярные координаты точки задаются расстоянием до центра круга (r) и углом (phi) относительно положительного направления оси x.
Совместная функция распределения F(r, phi) может быть выражена через функцию распределения расстояния r от центра круга (как найдено в пункте а) и равномерное распределение угла phi на интервале [0, 2*pi]:
F(r, phi) = F(r) * (1 / (2*pi)), где F(r) - функция распределения расстояния от центра круга.
Ответ:
а) Функция распределения расстояния от точки до центра круга имеет вид F(x) = {0, если x < 0; {x^2 / (R^2), если 0 <= x <= R; {1, если x > R.
Плотность вероятности расстояния f(x) = 2*x / (R^2), при 0 <= x <= R; f(x) = 0, в остальных случаях.
б) Совместная функция распределения полярных координат точки: F(r, phi) = F(r) * (1 / (2*pi)), где F(r) - функция распределения расстояния от центра круга.