Question

Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния r до его центра как ρ = ρ0 (1 – r/R), где ρ0 – постоянная. Полагая, что диэлектрическая проницаемость ε=1 всюду, найти: а) модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r; б) максимальное значение модуля напряженности Еmax и соответствующее ему значение rmax

Answer 1

Дано:  
Объемная плотность заряда в шаре: ρ = ρ0(1 - r/R), где ρ0 - постоянная  
Диэлектрическая проницаемость ε = 1  
Радиус шара R  

Найти:  
а) Модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r  
б) Максимальное значение модуля напряженности Emax и соответствующее ему значение rmax  

Решение:  
а)  
Для нахождения напряженности поля воспользуемся формулой для вычисления напряженности поля в зависимости от объемной плотности заряда:  
E = ρ / (3ε)  

1. Внутри шара (r < R):  
ρ = ρ0(1 - r/R)  
E = ρ / (3ε) = ρ0(1 - r/R) / (3 * 1) = ρ0(1 - r/R) / 3  

2. Снаружи шара (r > R):  
Заряд равен полному заряду шара: Q = 4/3 * πR^3 * ρ0  
Поле за пределами шара считается так, как если бы всё распределение заряда сосредоточено в его центре:  
E = Q / (4πεr^2) = 4/3 * πR^3 * ρ0 / (4πr^2) = R^3 * ρ0 / (3r^2)  

б)  
Находим максимальное значение напряженности Emax:  
dE/dr = 0  
d(Er)/dr = 0  
-ρ0/R + 2ρ0r/(3R^2) = 0  
rmax = 2R/3  
Emax = ρ0(1 - 2/3) / 3 = ρ0 / 9  

Ответ:
а)  
Для r < R: E = ρ0(1 - r/R) / 3  
Для r > R: E = R^3 * ρ0 / (3r^2)  
б)  
Emax = ρ0 / 9, rmax = 2R / 3