Дано:
Случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале [0, π].
Найти:
Функцию распределения и плотность случайной величины Y = sin(X).
Решение с расчетом:
Функция распределения F(y) для Y определяется как вероятность того, что Y не превышает значение y.
F(y) = P(Y <= y) = P(sin(X) <= y)
Так как sin(x) монотонно возрастает на интервале [0, π], то можно выразить функцию распределения Y через функцию распределения X:
F(y) = P(Y <= y) = P(X <= arcsin(y))
Так как X имеет равномерное распределение на интервале [0, π], то функция распределения X равна:
F_X(x) = x / π, при 0 <= x <= π;
F_X(x) = 0, если x < 0;
F_X(x) = 1, если x > π.
Тогда функция распределения Y будет равна:
F(y) = P(Y <= y) = P(X <= arcsin(y)) = F_X(arcsin(y)) = arcsin(y) / π, при -1 <= y <= 1;
F(y) = 0, если y < -1;
F(y) = 1, если y > 1.
Для нахождения плотности вероятности f(y) воспользуемся производной функции распределения:
f(y) = dF(y)/dy = 1 / (π * √(1 - y^2)), при -1 <= y <= 1;
f(y) = 0, в остальных случаях.
Ответ:
Функция распределения случайной величины Y = sin(X):
F(y) = {0, если y < -1; {arcsin(y) / π, если -1 <= y <= 1; {1, если y > 1.
Плотность вероятности: f(y) = 1 / (π * √(1 - y^2)), при -1 <= y <= 1; f(y) = 0, в остальных случаях.