Дано:
Точка бросается в треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1), (2,0).
Найти:
Функции распределения и плотности декартовых координат точки.
Решение с расчетом:
1. Функция распределения для координаты X:
Пусть (X,Y) - координаты точки. Тогда функция распределения F_X(x) для координаты X определяется как вероятность того, что значение X не превышает x.
F_X(x) = P(X <= x)
2. Функция распределения для координаты Y:
Аналогично, функция распределения F_Y(y) для координаты Y определяется как вероятность того, что значение Y не превышает y.
F_Y(y) = P(Y <= y)
3. Плотность вероятности:
Для нахождения плотности вероятности f_X(x) и f_Y(y) воспользуемся производными функций распределения F_X(x) и F_Y(y).
4. Расчет функций распределения:
Для треугольника с вершинами в точках (0,0), (0,1), (2,0) легко получить уравнения прямых, которые образуют его границы:
- Для прямой, проходящей через (0,0) и (0,1): x = 0.
- Для прямой, проходящей через (0,1) и (2,0): y = -x + 2.
- Для прямой, проходящей через (0,0) и (2,0): y = 0.
Теперь мы можем рассмотреть различные случаи бросания точки и выразить функции распределения F_X(x) и F_Y(y) в зависимости от положения точки относительно этих прямых.
5. Расчет плотности вероятности:
Для расчета плотности вероятности f_X(x) и f_Y(y) для каждой координаты воспользуемся производными соответствующих функций распределения.
Ответ:
Функции распределения и плотности декартовых координат точки могут быть найдены с использованием уравнений прямых, описывающих границы треугольника, и соответствующих аналитических выражений для вероятностей.