Дано:
X и Y независимы, причем P(X = 0) = P(X = 1) = 1/2, а P(Y < t) = t, 0 < t < 1.
Найти:
Функции распределения случайных величин X + Y и XY.
Решение с расчетом:
1. Функция распределения для X + Y:
F_X+Y(z) = P(X + Y ≤ z)
Для нахождения функции распределения X + Y, рассмотрим все возможные комбинации значений X и Y и найдем вероятности соответствующих сумм. Так как X и Y независимы, можно записать:
F_X+Y(z) = Σ P(X = i) * P(Y ≤ z - i), где сумма берется по всем i от 0 до 1.
Подставим известные значения вероятностей:
F_X+Y(z) = (1/2) * P(Y ≤ z) + (1/2) * P(Y ≤ z - 1)
Учитывая, что P(Y ≤ t) = t для 0 < t < 1:
F_X+Y(z) = (1/2) * z + (1/2) * (z - 1) = z - 1/2, при 1/2 ≤ z < 3/2
F_X+Y(z) = 1, при z ≥ 3/2
F_X+Y(z) = 0, при z < 1/2
2. Функция распределения для XY:
F_XY(w) = P(XY ≤ w)
Аналогично, для нахождения функции распределения XY рассмотрим все возможные комбинации значений X и Y и найдем вероятности соответствующих произведений.
F_XY(w) = Σ P(X = i) * P(Y ≤ w/i), где сумма берется по всем i от 0 до 1.
Подставим известные значения вероятностей:
F_XY(w) = (1/2) * P(Y ≤ w/0) + (1/2) * P(Y ≤ w/1)
Учитывая, что P(Y ≤ t) = t для 0 < t < 1:
F_XY(w) = (1/2) * 0 + (1/2) * w = w/2, при 0 ≤ w < 1
F_XY(w) = 1, при w ≥ 1
Ответ:
Функция распределения для X + Y:
F_X+Y(z) =
0, при z < 1/2
z - 1/2, при 1/2 ≤ z < 3/2
1, при z ≥ 3/2
Функция распределения для XY:
F_XY(w) =
0, при 0 ≤ w < 1
w/2, при w ≥ 1