Дано:
Случайные величины X и Y независимы и имеют одно и то же дискретное распределение P(X = y_k) = P(Y = y_k) = p_k, k ≥ 1.
Найти:
P(X = Y).
Решение с расчетом:
Так как X и Y имеют одно и то же дискретное распределение, то вероятность события P(X = Y) равна сумме вероятностей тех значений y_k, для которых X и Y принимают одинаковые значения.
P(X = Y) = Σ P(X = y_k и Y = y_k) = Σ P(X = y_k) * P(Y = y_k)
Из условия известно, что P(X = y_k) = p_k и P(Y = y_k) = p_k для всех k ≥ 1. Подставляя это в формулу, получаем:
P(X = Y) = Σ p_k * p_k = Σ p_k^2
Ответ:
P(X = Y) = Σ p_k^2