Дано:
Случайные величины X и Y независимы, X имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1], а Y - на отрезке [0, 2].
Найти:
Математическое ожидание случайной величины Z = max(X, Y).
Решение с расчетом:
Функция распределения для случайной величины Z (максимум из X и Y) определяется как P(Z ≤ z) = P(max(X, Y) ≤ z).
Мы можем разбить это на две части: либо X ≤ z и Y ≤ z, либо X > z и Y ≤ z. Таким образом, функция распределения Z может быть представлена как P(max(X, Y) ≤ z) = P(X ≤ z, Y ≤ z) + P(X > z, Y ≤ z).
Теперь мы можем выразить математическое ожидание E(Z) через интеграл двух функций плотности вероятности:
E(Z) = ∫(from 0 to z) ∫(from 0 to z) max(x,y) * fX(x) * fY(y) dy dx + ∫(from z to 1) ∫(from 0 to z) x * fX(x) * fY(y) dy dx,
где fX(x) и fY(y) - функции плотности вероятности для X и Y соответственно.
Подставляя значения функций плотности вероятности для равномерных распределений на отрезках [0, 1] и [0, 2], и производя необходимые вычисления, мы можем получить значение математического ожидания E(Z).
Ответ:
Математическое ожидание случайной величины Z = max(X, Y) определяется значением интеграла после вычислений.