Дано:
Случайные величины X и Y независимы и имеют распределение Пуассона:
X ~ Poisson(lambda) и Y ~ Poisson(mu).
Найти:
Распределение случайной величины Z = X + Y.
Решение:
1. По определению, если X имеет распределение Пуассона с параметром lambda, то:
P(X = k) = (e^(-lambda) * lambda^k) / k!, где k = 0, 1, 2, ...
2. Аналогично, для Y с параметром mu:
P(Y = j) = (e^(-mu) * mu^j) / j!, где j = 0, 1, 2, ...
3. Нам нужно найти распределение Z = X + Y. Для этого используем свойство независимых случайных величин. Мы можем записать вероятность того, что сумма равна некоторому значению k:
P(Z = k) = Σ P(X = i) * P(Y = k - i), где суммируем по всем возможным значениям i.
4. Теперь подставим выражения для P(X = i) и P(Y = k - i):
P(Z = k) = Σ [(e^(-lambda) * lambda^i) / i!] * [(e^(-mu) * mu^(k - i)) / (k - i)!].
5. Упрощаем это выражение:
P(Z = k) = e^(-lambda - mu) * Σ [(lambda^i * mu^(k - i)) / (i! * (k - i)!)].
6. Заметим, что сумма Σ (lambda^i * mu^(k - i)) / (i! * (k - i)!) соответствует разложению бинома:
Σ C(k, i) * (lambda / mu)^i * (mu / mu)^(k - i) = (lambda + mu)^k / k!.
7. Таким образом, получаем:
P(Z = k) = e^(-lambda - mu) * (lambda + mu)^k / k!.
8. Это означает, что Z имеет распределение Пуассона:
Z ~ Poisson(lambda + mu).
Ответ:
Случайная величина Z = X + Y имеет распределение по закону Пуассона с параметром lambda + mu.