Дано:
n независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметром α.
Найти:
Доказать, что сумма этих n независимых случайных величин имеет гамма-распределение с параметрами α, n.
Решение с расчетом:
Пусть X_1, X_2, ..., X_n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение Exp(α), где α - параметр этого распределения.
Гамма-распределение с параметрами α, n обозначается как Γ(α, n).
Функция плотности вероятности для гамма-распределения выглядит следующим образом:
f(x; α, n) = (x^(n-1) * e^(-x/α)) / (α^n * (n-1)!), при x > 0
Известно, что сумма независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение, имеет гамма-распределение.
Таким образом, сумма X_1 + X_2 + ... + X_n имеет гамма-распределение с параметрами α, n.
Ответ:
Сумма n независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметром α, имеет гамма-распределение с параметрами α, n.