Дано:
Сумма независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона.
Найти:
Доказать, что сумма этих независимых случайных величин также распределена по закону Пуассона.
Решение с расчетом:
Пусть X_1, X_2, ..., X_n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение Пуассона.
Распределение Пуассона задается формулой P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!, где λ - параметр распределения.
Теперь рассмотрим сумму S = X_1 + X_2 + ... + X_n. Чтобы доказать, что S также имеет распределение Пуассона, найдем функцию вероятности для S.
P(S = s) = Σ P(X_1 = i_1) * P(X_2 = i_2) * ... * P(X_n = i_n), где сумма берется по всем последовательностям (i_1, i_2, ..., i_n), для которых i_1 + i_2 + ... + i_n = s.
Используя свойство независимости случайных величин и функцию вероятности для распределения Пуассона, можно показать, что сумма nезависимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона, вновь распределена по закону Пуассона.