Дано:
X имеет показательное распределение с параметром α, Y = min(1, X).
Найти:
Дисперсию случайной величины Y: D(Y).
Решение с расчетом:
Функция минимума возвращает наименьшее из двух чисел, поэтому Y принимает значения от 0 до 1, и его функция плотности вероятности равна fY(y) = α*e^(-α*y), при y > 0, иначе 0.
Теперь найдем математическое ожидание E(Y):
E(Y) = ∫(from 0 to 1) y*α*e^(-α*y) dy.
Проводя необходимые вычисления, получаем E(Y) = 1 - (1 + α)e^(-α).
Теперь найдем E(Y^2):
E(Y^2) = ∫(from 0 to 1) y^2*α*e^(-α*y) dy.
Снова проводя вычисления, получаем E(Y^2) = 2 - (2 + α)e^(-α).
Теперь можем найти дисперсию D(Y):
D(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 2 - (2 + α)e^(-α) - (1 - (1 + α)e^(-α))^2.
Ответ:
Таким образом, мы находим дисперсию случайной величины Y: D(Y) = 1 - e^(-α).