Question

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 95% яиц из первого хозяйства —яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20 % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства

Answer 1

Дано:  
Пусть A1 - событие, что яйцо из первого хозяйства, B - событие, что яйцо высшей категории.

P(B|A1) = 0.95, P(B|A2) = 0.20, P(A1 ∪ A2|B) = 0.80.

Найти:  
Вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:  
Используем формулу условной вероятности:
P(A1|B) = P(A1 ∩ B) / P(B).

P(A1 ∩ B) = P(B|A1) * P(A1) = 0.95 * P(A1).
P(A2 ∩ B) = P(B|A2) * P(A2) = 0.20 * (1 - P(A1)).

Так как B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B), то
P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) = 0.95 * P(A1) + 0.20 * (1 - P(A1)).

Также известно, что 0.80 = P(A1 ∪ A2|B) = (P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B)) / P(B), значит,
0.80 = (0.95 * P(A1) + 0.20 * (1 - P(A1))) / (0.95 * P(A1) + 0.20 * (1 - P(A1))).

Решим это уравнение относительно P(A1):
0.80 * (0.95 * P(A1) + 0.20 * (1 - P(A1))) = 0.95 * P(A1) + 0.20 - 0.20 * P(A1),
0.76 * P(A1) + 0.16 = 0.75 * P(A1) + 0.20,
0.01 * P(A1) = 0.04,
P(A1) = 0.04 / 0.01,
P(A1) = 0.04.

Ответ:  
Вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы, окажется из первого хозяйства: 0.04 или 4%.