Дано:
- В случайном эксперименте рассматриваются две случайные величины X и Y.
- Случайная величина Z = max(X, Y), то есть она принимает значение наибольшей из величин X и Y.
Найти:
Доказать, что математическое ожидание случайной величины Z (EZ) больше, чем математическое ожидание случайной величины X (EX).
Решение с расчетом:
Математическое ожидание случайной величины Z (EZ) вычисляется как сумма произведений всех возможных значений Z на их вероятности: EZ = Σ(z * P(Z=z)).
Математическое ожидание случайной величины X (EX) также вычисляется как сумма произведений всех возможных значений X на их вероятности: EX = Σ(x * P(X=x)).
Докажем, что EZ > EX. Заметим, что Z принимает значение X, если X > Y, и значение Y, если Y > X. Таким образом, Z всегда равно максимальной из величин X и Y.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда X > Y. В этом случае Z равно X, а значит Z больше или равно X. Таким же образом, если Y > X, то Z равно Y, и опять же Z больше или равно X.
Из этого можно заключить, что EZ >= X для любых X и Y. Таким образом, доказано, что математическое ожидание случайной величины Z (EZ) больше, чем математическое ожидание случайной величины X (EX).
Ответ:
Доказано, что математическое ожидание случайной величины Z (EZ) больше, чем математическое ожидание случайной величины X (EX).