Дано:
Симметричная монета бросается много раз.
Найти:
1. Математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины S = {число выпавших орлов}.
2. Долю значений случайной величины S, попадающих в отрезок от ES – √(DS) до ES + √(DS), для 100 и 10 000 бросков.
Решение с расчетом:
1. Для симметричной монеты математическое ожидание числа выпавших орлов равно половине числа бросков, то есть E(S) = n/2, где n — число бросков.
Стандартное отклонение случайной величины S равно √(n*p*(1-p)), где p - вероятность выпадения орла (в данном случае 0.5).
2. Доля значений случайной величины S, попадающих в отрезок от ES – √(DS) до ES + √(DS), может быть найдена с использованием правила трех сигм. В данном случае, для нормального распределения около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения (от -σ до +σ), около 95% — в пределах двух стандартных отклонений (от -2σ до +2σ), и около 99.7% — в пределах трех стандартных отклонений (от -3σ до +3σ).
a) Для 100 бросков:
E(S) = 100/2 = 50
D(S) = √(100*0.5*0.5) = √25 = 5
ES – √DS = 50 - 5 = 45
ES + √DS = 50 + 5 = 55
Доля значений в пределах от 45 до 55: 68%
б) Для 10 000 бросков:
E(S) = 10 000/2 = 5000
D(S) = √(10 000*0.5*0.5) = √2500 = 50
ES – √DS = 5000 - 50 = 4950
ES + √DS = 5000 + 50 = 5050
Доля значений в пределах от 4950 до 5050: 68%
Ответ:
Доля значений случайной величины S, попадающих в отрезок от ES – √(DS) до ES + √(DS), равна 68% для обоих случаев: 100 и 10 000 бросков.