Дано:
- Количество белых шаров = 3
- Количество черных шаров = 4
Найти:
1. Математическое ожидание числа вынутых шаров до первого появления белого шара
2. Дисперсию
3. Функцию распределения
Решение с расчетом:
Пусть X - число вынутых шаров до первого появления белого шара.
Вероятность вынуть белый шар на i-ом шаге равна P(X=i) = (4/7)^(i-1) * (3/7), так как нужно вынуть (i-1) черных шаров, а потом белый.
Математическое ожидание:
E(X) = ∑[i=1 до ∞] i * P(X=i)
E(X) = 1 * (4/7)^0 * (3/7) + 2 * (4/7)^1 * (3/7) + 3 * (4/7)^2 * (3/7) + ...
E(X) = 3/7 * ∑[i=1 до ∞] i * (4/7)^(i-1)
E(X) = 3/7 * (4/7) * ∑[i=0 до ∞] i * (4/7)^i
E(X) = 3/7 * (4/7) * [(1/(1-(4/7)))^2] (сумма геометрической прогрессии)
E(X) = 3/7 * (4/7) * [(49/16)] = 3/4
Дисперсия:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
E(X^2) = 1^2 * (4/7)^0 * (3/7) + 2^2 * (4/7)^1 * (3/7) + 3^2 * (4/7)^2 * (3/7) + ...
E(X^2) = 3/7 * (4/7) * ∑[i=0 до ∞] i^2 * (4/7)^i
E(X^2) = 3/7 * (4/7) * [14/9]
E(X^2) = 2
Var(X) = 2 - (3/4)^2
Var(X) = 2 - 9/16
Var(X) = 7/16
Функция распределения:
F(k) = P(X <= k) = ∑[i=1 до k] (4/7)^(i-1) * (3/7)
Ответ:
1. Математическое ожидание: E(X) = 3/4
2. Дисперсия: Var(X) = 7/16