Из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара, извлекается по од- ному шару без возвращения до первого появления белого шара. Найти математическое ожидание числа выгнутых шаров и дисперсию. Найти функцию распределения
от

1 Ответ

Дано:
- Количество белых шаров = 3
- Количество черных шаров = 4

Найти:
1. Математическое ожидание числа вынутых шаров до первого появления белого шара
2. Дисперсию
3. Функцию распределения

Решение с расчетом:

Пусть X - число вынутых шаров до первого появления белого шара.

Вероятность вынуть белый шар на i-ом шаге равна P(X=i) = (4/7)^(i-1) * (3/7), так как нужно вынуть (i-1) черных шаров, а потом белый.

Математическое ожидание:
E(X) = ∑[i=1 до ∞] i * P(X=i)

E(X) = 1 * (4/7)^0 * (3/7) + 2 * (4/7)^1 * (3/7) + 3 * (4/7)^2 * (3/7) + ...

E(X) = 3/7 * ∑[i=1 до ∞] i * (4/7)^(i-1)

E(X) = 3/7 * (4/7) * ∑[i=0 до ∞] i * (4/7)^i

E(X) = 3/7 * (4/7) * [(1/(1-(4/7)))^2] (сумма геометрической прогрессии)

E(X) = 3/7 * (4/7) * [(49/16)] = 3/4

Дисперсия:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
E(X^2) = 1^2 * (4/7)^0 * (3/7) + 2^2 * (4/7)^1 * (3/7) + 3^2 * (4/7)^2 * (3/7) + ...
E(X^2) = 3/7 * (4/7) * ∑[i=0 до ∞] i^2 * (4/7)^i
E(X^2) = 3/7 * (4/7) * [14/9]
E(X^2) = 2

Var(X) = 2 - (3/4)^2
Var(X) = 2 - 9/16
Var(X) = 7/16

Функция распределения:
F(k) = P(X <= k) = ∑[i=1 до k] (4/7)^(i-1) * (3/7)

Ответ:
1. Математическое ожидание: E(X) = 3/4
2. Дисперсия: Var(X) = 7/16
от