Дано:
- Среднее значение длины детали (μ) = 20 см
- Дисперсия (σ^2) = 0.2 см^2
- Необходимые значения для интервала: a = 19.7 см, b = 20.3 см
Найти:
Вероятность того, что длина детали будет заключена между 19.7 и 20.3 см.
Решение с расчетом:
Сначала найдем стандартное отклонение (σ) как квадратный корень из дисперсии: σ = √0.2 ≈ 0.447 см.
Затем найдем Z-score для каждой границы интервала:
Z_a = (a - μ) / σ = (19.7 - 20) / 0.447 ≈ -0.671
Z_b = (b - μ) / σ = (20.3 - 20) / 0.447 ≈ 1.118
Теперь, используя таблицу Z-score или калькулятор, найдем вероятности P(Z < Z_a) и P(Z < Z_b). Для Z_a ≈ -0.671, P(Z < Z_a) ≈ 0.2514; для Z_b ≈ 1.118, P(Z < Z_b) ≈ 0.8686.
Искомая вероятность:
P(19.7 < X < 20.3) = P(Z_a < Z < Z_b)
= P(Z < Z_b) - P(Z < Z_a)
= 0.8686 - 0.2514
≈ 0.6172
Ответ:
Вероятность того, что длина детали будет заключена между 19.7 и 20.3 см, составляет примерно 61.72%.