Дано:
Функция спроса: Q = 12 - P
Функция общих затрат: TC = 6 + 6Q - Q^2
Найти:
Максимальная прибыль и соответствующую цену.
Решение с расчетом:
Прибыль (π) монополиста вычисляется как разность между выручкой (R) и общими затратами (TC):
π = R - TC
Выручка (R) монополиста выражается как произведение цены на количество товара:
R = P * Q
Подставим выражение для Q из функции спроса в формулу для выручки:
R = P * (12 - P)
R = 12P - P^2
Теперь найдем общие затраты (TC) в зависимости от количества продукта (Q):
TC = 6 + 6Q - Q^2
Произведем дифференцирование функции выручки по цене P и приравняем к нулю, чтобы найти оптимальную цену (P):
dR/dP = 12 - 2P = 0
2P = 12
P = 6
Теперь найдем соответствующее значение количества товара (Q):
Q = 12 - P
Q = 12 - 6
Q = 6
Теперь найдем выручку (R) при этой цене:
R = P * Q
R = 6 * 6
R = 36
Теперь найдем общие затраты (TC) при этом количестве товара:
TC = 6 + 6Q - Q^2
TC = 6 + 6*6 - 6^2
TC = 6 + 36 - 36
TC = 6
Теперь вычислим прибыль (π) монополиста:
π = R - TC
π = 36 - 6
π = 30
Ответ:
Максимальная прибыль составляет 30, а соответствующая цена - 6.