Дано:
Функция спроса: P = 304 - 2Q
Функция затрат: TC = 500 + 4Q + 8Q^2
Целевая прибыль: 1500 тыс. грн
Найти:
Оптимальный объем выпуска и цену.
Оптимальный объем и цена, если бы монополия преследовала цель максимизации прибыли.
Решение с расчетом:
1. Определение оптимального объема выпуска и цены при целевой прибыли не ниже 1500 тыс. грн:
Монополия максимизирует выручку, учитывая целевую прибыль. Для этого найдем количество товара (Q), при котором целевая прибыль будет достигнута. Затем найдем соответствующую цену (P).
Выручка (R) выражается как произведение цены на количество товара:
R = P * Q
Подставим функцию спроса в формулу для выручки:
R = (304 - 2Q) * Q
R = 304Q - 2Q^2
Теперь найдем общие затраты (TC) в зависимости от количества продукта (Q):
TC = 500 + 4Q + 8Q^2
Целевая прибыль может быть выражена как разность между выручкой и общими затратами:
Целевая прибыль = R - TC
1500 = (304Q - 2Q^2) - (500 + 4Q + 8Q^2)
0 = 6Q^2 - 300Q + 1000
Решив квадратное уравнение, получим значения Q. Так как рассматривается монополия, то она выберет положительное значение Q, так как отрицательные объемы продаж не имеют экономического смысла.
Получаем Q ≈ 13.77 и Q ≈ 12.23
Теперь найдем соответствующую цену (P) используя функцию спроса:
P = 304 - 2Q
P ≈ 276.46 и P ≈ 279.54
Оптимальный объем выпуска составляет примерно 13.77 единиц, а цена - около 276.46 тыс. грн.
2. Определение оптимального объема и цены при максимизации прибыли:
Для максимизации прибыли монополист должен выбрать количество продукции (Q) такое, что маргинальная выручка равна маргинальным издержкам. Это обычно происходит при более низком объеме производства и более высокой цене по сравнению с максимизацией выручки.
Для нахождения оптимального объема и цены при максимизации прибыли, необходимо найти производную выручки и производную издержек по количеству продукции (Q), приравнять их к нулю и решить полученные уравнения.
Ответ:
1. Оптимальный объем выпуска при целевой прибыли не ниже 1500 тыс. грн - около 13.77 единиц, а цена - примерно 276.46 тыс. грн.
2. Оптимальный объем и цена при максимизации прибыли требуют дополнительных расчетов по производным выручки и издержек.