Дано: В классе учится 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 учеников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом.
Найти: Доказать, что в этой информации содержатся ошибки.
Решение: Давайте воспользуемся принципом включения-исключения для множеств для анализа полученных данных.
Пусть A - множество учеников, B - множество учеников, занимающихся спортом, C - множество учеников, учащихся на хорошо и отлично.
Тогда по условию:
|A| = 45 (всего учеников)
|B| = 28 (занимаются спортом)
|C| = 30 (учатся на хорошо и отлично)
Также известно:
|A ∩ B| = 18 (ученики, занимающиеся спортом)
|A ∩ C| = 30 (учатся на хорошо и отлично)
|B ∩ C| = 17 (занимаются спортом и учатся на хорошо и отлично)
|A ∩ B ∩ C| = 15 (занимаются спортом и учатся на хорошо и отлично)
Теперь вычислим количество учеников, которые занимаются спортом или учатся на хорошо и отлично, используя формулу включения-исключения:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
|A ∪ C| = |A| + |C| - |A ∩ C|
|B ∪ C| = |B| + |C| - |B ∩ C|
|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |A ∩ B ∩ C|
Подставляя значения, получаем:
|A ∪ B| = 45 + 28 - 18 = 55
|A ∪ C| = 45 + 30 - 30 = 45
|B ∪ C| = 28 + 30 - 17 = 41
|A ∪ B ∪ C| = 55 + 30 - 15 = 70
Однако общее количество учеников в классе равно 45, следовательно, в предоставленной информации содержится ошибка.
Ответ: Данные содержат ошибку, так как количество учащихся, занимающихся спортом или учащихся на хорошо и отлично, не может превышать общее количество учеников в классе.