Дано: В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, каждый из которых знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек знают английский, 6 - немецкий, 7 - французский. 4 человека знают английский и немецкий, 3 - немецкий и французский, 2 - французский и английский. Один человек знает все три языка.
Найти: Сколько человек работают в отделе? Сколько человек знают только английский язык? Только французский?
Решение: Для решения этой задачи воспользуемся принципом включения-исключения для множеств.
Обозначим A - множество людей, знающих английский, B - немецкий, C - французский.
Тогда по условию:
|A| = 6 (знают английский)
|B| = 6 (знают немецкий)
|C| = 7 (знают французский)
|A ∩ B| = 4 (знают английский и немецкий)
|B ∩ C| = 3 (знают немецкий и французский)
|A ∩ C| = 2 (знают английский и французский)
|A ∩ B ∩ C| = 1 (знают все три языка)
Теперь вычислим количество людей, которые знают хотя бы один язык, используя формулу включения-исключения:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Подставляя значения, получаем:
|A ∪ B ∪ C| = 6 + 6 + 7 - 4 - 3 - 2 + 1
|A ∪ B ∪ C| = 11
Следовательно, в отделе работает 11 человек.
Теперь найдем количество людей, которые знают только английский язык:
|A без (B ∪ C)| = |A| - |A ∩ B ∪ C|
|A без (B ∪ C)| = 6 - (4 - 1)
|A без (B ∪ C)| = 3
Количество людей, которые знают только французский язык:
|C без (A ∪ B)| = |C| - |A ∩ C ∪ B ∩ C|
|C без (A ∪ B)| = 7 - (2 - 1)
|C без (A ∪ B)| = 6
Ответ:
В отделе работает 11 человек.
Только английский знают 3 человека.
Только французский знают 6 человек.