Дано: целые числа от 10 до 1000.
Найти:
1) количество чисел, в записи которых встречаются ровно три одинаковые цифры;
2) количество чисел, у которых каждая последующая цифра больше предыдущей;
3) количество чисел, у которых сумма цифр равна 9.
Решение:
1) Для условия 1) имеем следующие категории чисел:
- Числа вида 111, 222, ..., 999 (9 чисел).
- Числа вида XYY, XYX, YXY, где X и Y - различные цифры от 1 до 9. Для каждой из 9 цифр есть C(3, 1) способов распределить её по позициям в числе, то есть 9 * C(3, 1) * 9 = 243.
Итого: 9 + 243 = 252 числа.
2) Для условия 2) каждая цифра в числе должна быть больше предыдущей:
- Для двузначных чисел это возможно в 8 случаях (от 12 до 98).
- Для трехзначных чисел количество подходящих чисел равно 8*7*6=336.
Итого: 8 + 336 = 344 числа.
3) Для условия 3) сумма цифр равна 9:
- Для двузначных чисел количество таких чисел равно C(8, 1) = 8 (от 18 до 90).
- Для трехзначных чисел количество таких чисел равно C(10, 2) = 45.
Итого: 8 + 45 = 53 числа.
Ответ:
1) В записи чисел от 10 до 1000 встречаются ровно три одинаковые цифры в 252 числах.
2) У 344 чисел каждая последующая цифра больше предыдущей.
3) Сумма цифр равна 9 в 53 числах.