Дано:
Радиус кольца (R)
Распределенный заряд (q)
Найти:
Потенциал электрического поля на оси кольца как функцию расстояния z от его центра.
Решение:
Потенциал, создаваемый элементом дQ кольца на расстоянии z от его центра, можно выразить как:
dU = k * dQ / √(R^2 + z^2),
где k - постоянная Кулона ≈ 9*10^9 Н·м^2/Кл^2,
dQ - элементарный заряд кольца.
Поскольку заряд равномерно распределен, то dQ = q * R * dφ / (2πR) = q * dφ / (2π),
где dφ - элементарный угол.
Таким образом, потенциал в точке на оси кольца будет равен интегралу от -π до π от dU:
U(z) = ∫[from -π to π] k * q * dφ / (2π) / √(R^2 + z^2).
Упрощая выражение, получаем:
U(z) = k * q / (4π) ∫[from -π to π] dφ / √(R^2 + z^2),
U(z) = k * q / (4π) * 2π arctg(z / R),
U(z) = k * q / (2√π) arctg(z / R).
Ответ:
Величина потенциала электрического поля на оси кольца как функция расстояния z от его центра равна k * q / (2√π) arctg(z / R).