Дано: отношение сторон оснований 1:2, боковое ребро - 4, угол между боковым ребром и плоскостью основания - 60°.
Найти: объем пирамиды.
Решение:
Пусть сторона меньшего основания равна a, тогда сторона большего основания будет 2a.
Выразим высоту пирамиды через боковое ребро и угол:
h = ab * sin(60°)
h = 2a * 4 * sin(60°)
h = 8a * √3 / 2
h = 4a√3
Теперь найдем площадь меньшего основания:
S1 = a^2 * √3 / 4
И площадь большего основания:
S2 = (2a)^2 * √3 / 4
S2 = 4a^2 * √3
Теперь можем найти объем пирамиды:
V = (S1 + S2 + √(S1 * S2)) * h / 3
V = ((a^2 * √3 / 4) + (4a^2 * √3) + √((a^2 * √3 / 4) * (4a^2 * √3))) * 4a√3 / 3
V = (√3 / 4 * a^2 + 4a^2 * √3 +√(3) / 2 * a^3) * 4√3 / 3
V = (13√3 / 4 +√(3) / 2) * a^3
Ответ: V = (13√3 / 4 +√(3) / 2) * a^3