Дано: R = 2R3
Найти: минимальное расстояние Ri, скорость спутника в этой точке
Решение:
Из закона сохранения механической энергии получаем:
(1/2)mV^2 - GmM/R = (1/2)m(V + V)^2 - GmM/Ri
где m - масса спутника, V - скорость спутника на круговой орбите, M - масса Земли, G - гравитационная постоянная.
Так как спутник получает радиальный импульс, то V = V + V, где V - дополнительная скорость.
Таким образом, (1/2)mV^2 - GmM/R = (1/2)m(2V)^2 - GmM/Ri
Учитывая что V = sqrt(GM/R), а также что R = 2R3, подставляем и находим:
(1/2)m(GM/R3) - GmM/R = (1/2)m(4GM/R3)^2 - GmM/Ri
(1/2)(GM) - G = (1/2)(16GM/R3) - G/Ri
Подставляем значения и решаем уравнение:
GM - 2G = 8GM/R3 - G/Ri
GM(1 - 8/R3) = 2G - G/Ri
GM(R3 - 8) = 2R3G - G
(GM(R3 - 8))/(R3G - G) = Ri
Ri = R3(R3 - 8)
Ri = 3R3(3R3 - 8)
Ri = 3(9 - 8)
Ri = 3 км
Теперь найдем скорость спутника в этой точке. Используем закон сохранения энергии:
(1/2)mV^2 - GmM/R = (1/2)m(V + V)^2 - GmM/Ri
V = sqrt(2GM(1/R - 1/(2R3)))
Подставляем значения и находим:
V = sqrt(2GM(1/(R3) - 1/(2R3)))
V = sqrt(2GM(2 - 1)/(2R3))
V = sqrt(GM/(2R3))
Ответ: минимальное расстояние Ri, на которое приблизится спутник к центру Земли, равно 3 км, а его скорость в этой точке равна sqrt(GM/(2R3)).