Спутник, вращаясь по круговой траектории радиуса R=2R3 (R3- радиус Земли), получает радиальный импульс, сообщающий ему дополнительную скорость и, в направлении центра Земли, равную по величине скорости и движения по круговой орбите (рис. 124). На какое минимальное расстояние Риин приблизится спутник к центру Земли и какова будет его скорость в этой точке? Сопротивление атмосферы не учитывать.​
от

1 Ответ

Дано: R = 2R3

Найти: минимальное расстояние Ri, скорость спутника в этой точке

Решение:

Из закона сохранения механической энергии получаем:

(1/2)mV^2 - GmM/R = (1/2)m(V + V)^2 - GmM/Ri

где m - масса спутника, V - скорость спутника на круговой орбите, M - масса Земли, G - гравитационная постоянная.

Так как спутник получает радиальный импульс, то V = V + V, где V - дополнительная скорость.

Таким образом, (1/2)mV^2 - GmM/R = (1/2)m(2V)^2 - GmM/Ri

Учитывая что V = sqrt(GM/R), а также что R = 2R3, подставляем и находим:

(1/2)m(GM/R3) - GmM/R = (1/2)m(4GM/R3)^2 - GmM/Ri

(1/2)(GM) - G = (1/2)(16GM/R3) - G/Ri

Подставляем значения и решаем уравнение:

GM - 2G = 8GM/R3 - G/Ri

GM(1 - 8/R3) = 2G - G/Ri

GM(R3 - 8) = 2R3G - G

(GM(R3 - 8))/(R3G - G) = Ri

Ri = R3(R3 - 8)

Ri = 3R3(3R3 - 8)

Ri = 3(9 - 8)

Ri = 3 км

Теперь найдем скорость спутника в этой точке. Используем закон сохранения энергии:

(1/2)mV^2 - GmM/R = (1/2)m(V + V)^2 - GmM/Ri

V = sqrt(2GM(1/R - 1/(2R3)))

Подставляем значения и находим:

V = sqrt(2GM(1/(R3) - 1/(2R3)))

V = sqrt(2GM(2 - 1)/(2R3))

V = sqrt(GM/(2R3))

Ответ: минимальное расстояние Ri, на которое приблизится спутник к центру Земли, равно 3 км, а его скорость в этой точке равна sqrt(GM/(2R3)).
от