дано:
объем бака V = 32,768π
найти:
радиус основания и высоту бака для минимального расхода материала
решение:
1. Объем цилиндра V = πr^2h, где r - радиус основания, h - высота.
2. Мы знаем, что V = 32,768π, поэтому:
32,768π = πr^2h
r^2h = 32,768
3. Нам нужно минимизировать расход материала, который пропорционален к площади поверхности цилиндра S = 2πrh + 2πr^2.
4. Используем метод подстановки. Разрешим уравнение из пункта 2 относительно h:
h = 32,768 / r^2
Подставим h в формулу для площади поверхности цилиндра:
5. S = 2πr(32,768/r^2) + 2πr^2
S = 65,536/r + 2πr^2
6. Для нахождения минимума функции S найдем производную и приравняем к нулю:
dS/dr = -65,536/r^2 + 4πr = 0
4πr = 65,536/r^2
r^3 = 16384
r = 16
7. Найдем высоту:
h = 32,768 / r^2 = 32,768 / 256 = 128
Ответ:
Радиус основания бака равен 16 единиц, высота бака равна 128 единиц.