Дано:
Ребро куба a = 1 ед.
Отношение B1N к NA1: B1N:NA1 = 1:4
Отношение A1M к MD1: A1M:MD1 = 1:3
Найти:
Косинус угла α между прямыми BN и AM.
Решение с расчетом по имеющимся данным:
Из отношения B1N к NA1 и A1M к MD1 следует, что точка N делит отрезок B1A1 на 5 равных частей (1 + 4), а точка M делит отрезок A1D1 на 4 равных части (1 + 3).
Так как длина ребра куба равна 1, то BN = 1/5, NA = 4/5, и AM = 1/4, MD = 3/4.
Теперь найдем векторное произведение векторов BN и AM:
BN = (0, -1/5, 1/5)
AM = (-3/4, 1/4, 0)
Теперь вычислим скалярное произведение векторов BN и AM:
BN * AM = (0 * (-3/4)) + ((-1/5) * (1/4)) + ((1/5) * 0) = 1/20
Теперь найдем длину векторов BN и AM:
|BN| = sqrt((0)^2 + (-1/5)^2 + (1/5)^2) = sqrt(2)/5
|AM| = sqrt((-3/4)^2 + (1/4)^2 + (0)^2) = sqrt(10)/8
Теперь найдем косинус угла α:
cos(α) = (BN * AM) / (|BN| * |AM|) = (1/20) / ((sqrt(2)/5) * (sqrt(10)/8)) = 2/(5*sqrt(5))
Ответ:
Косинус угла α между прямыми BN и AM равен 2/(5*sqrt(5)).