Дано:
m = 10 г = 0.01 кг (масса каждого шарика)
a = 20 см = 0.2 м (сторона равностороннего треугольника)
1) Момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности:
Обозначим J1 - момент инерции одного шарика относительно оси, проходящей через центр шарика и перпендикулярной плоскости треугольника. Для шарика момент инерции равен I = (2/5)*m*r^2, где r - радиус окружности, вписанной в шарик. Радиус можно определить как r = a/(2√3). Тогда J1 = (2/5)*m*(a^2/12).
Так как шарики симметрично расположены, момент инерции системы относительно этой оси будет равен J1 = 3*(2/5)*m*(a^2/12).
2) Момент инерции системы относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника:
С использованием теоремы Гюйгенса-Штейнера вычислим J2 = J1 + M*h^2, где M - общая масса системы, h - расстояние между осями. Центр масс равностороннего треугольника совпадает с центром описанной окружности и находится на расстоянии h = a/(2√3) от вершины треугольника. Тогда J2 = 3*(2/5)*m*(a^2/12) + 3*m*(a/(2√3))^2.
Подставим данные и рассчитаем:
1) J1 = 3*(2/5)*0.01*(0.2^2/12) = 0.0001 кг*м^2
2) J2 = 3*(2/5)*0.01*(0.2^2/12) + 3*0.01*(0.2/(2√3))^2 = 0.0001 + 0.000387 = 0.000487 кг*м^2
Ответ:
1) Момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности, равен 0.0001 кг*м^2.
2) Момент инерции системы относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника, равен 0.000487 кг*м^2.