Дано: постоянная дифракционной решетки d = 2.5 мкм, длина волны λ = 589 нм
Найти: угловую дисперсию решетки для спектра первого порядка
Решение:
Угловая дисперсия решетки выражается как производная угла дифракции по длине волны:
D = d(θ) / d(λ).
Для решеток угловая дисперсия может быть найдена через следующее соотношение:
d * sin(θ) = m * λ.
Дифференцируя это уравнение по λ, получаем:
d * cos(θ) * dθ / dλ = m,
cos(θ) * dθ / dλ = m / d.
Условие первого минимума (m = 1):
d * sin(θ) = λ,
sin(θ) = λ / d.
Известно, что для малых углов:
sin(θ) ≈ θ.
Подставим это в уравнение для угловой дисперсии и найдем ее:
D = cos(θ) / d = √(1 - sin^2(θ)) / d = √(1 - (λ/d)^2) / d.
Подставим значения λ = 589 нм и d = 2.5 мкм (2.5 * 10^(-6) м) и рассчитаем угловую дисперсию:
D = √(1 - (589 * 10^(-9) / 2.5 * 10^(-6))^2) / 2.5 * 10^(-6) ≈ √(1 - 0.13824) / 2.5 * 10^(-6)
D ≈ √0.86176 / 2.5 * 10^(-6) ≈ 0.293 / 2.5 * 10^(-6) ≈ 117.2 рад/м.
Ответ: Угловая дисперсия решетки для λ = 589 нм в спектре первого порядка составляет около 117.2 рад/м.