Дано: ширина потенциального ящика l.
Найти: выражение для оценки минимальной энергии Е электрона в потенциальном ящике.
Соотношение неопределенности Гейзенберга:
Δx * Δp_x ≥ h,
где Δx - неопределенность координаты, Δp_x - неопределенность импульса по координате x, h - постоянная Планка.
Для электрона в потенциальном ящике с шириной l можно считать, что неопределенность координаты Δx равна половине длины ящика:
Δx = l / 2.
Неопределенность импульса связана с кинетической энергией E следующим образом:
Δp_x = ΔE / v,
где ΔE - неопределенность энергии.
Так как электрон находится в одномерном движении, то его скорость v связана с кинетической энергией E:
E = (p^2) / (2m),
p = mv,
v = p / m = sqrt(2mE) / m = sqrt(2E / m).
Подставим это выражение для скорости в формулу для неопределенности импульса:
Δp_x = ΔE / sqrt(2E / m).
Из соотношения неопределенности получаем:
(l / 2) * (ΔE / sqrt(2E / m)) ≥ h,
ΔE * l / (2 * sqrt(2E / m)) ≥ h,
ΔE ≥ h * 2 * sqrt(2E / m) / l.
Ответ: Выражение для оценки минимальной энергии Е электрона в одновременном потенциальном ящике шириной l:
ΔE ≥ h * 2 * sqrt(2E / m) / l.