Диск радиусом 5 см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр так, что зависимость углового ускорения от времени задается уравнением
ε = 2А + 20Вt^3
(А = 2 рад/с^2, В = 1 рад/с^5). Определить угловую скорость диска к концу первой секунды после начала движения и число оборотов, сделанных диском за первую секунду. (Ответ: 9 рад/с, 0,477)
от

1 Ответ

Дано:  
Уравнение для углового ускорения: ε = 2A + 20Bt^3  
Где A = 2 рад/с^2 и B = 1 рад/с^5  
Известно, что t = 1 секунда  

Найти:  
1. Угловую скорость диска к концу первой секунды после начала движения  
2. Число оборотов, сделанных диском за первую секунду  

Решение:  
1. Для нахождения угловой скорости w воспользуемся соотношением между угловым ускорением и угловой скоростью:  
ε = dw/dt  
dw = εdt  
w = ∫(2A + 20Bt^3)dt  
w = 2At + 5Bt^4 + C  

Подставляем значения A, B и t = 1 секунда:  
w = 2*2*1 + 5*1*1^4 + C  
w = 4 + 5 + C  
w = 9 рад/с  

2. Чтобы найти число оборотов, сделанных диском за первую секунду, нужно выразить угловое перемещение через угловую скорость:
θ = ∫w dt  
θ = ∫9 dt  
θ = 9t + D  

Зная, что на конце первой секунды t = 1 секунда, подставим и найдем угловое перемещение:
θ = 9*1 + D = 9 + D  

Число оборотов N можно выразить как отношение углового перемещения к полному углу вращения (2π):
N = θ / 2π = (9 + D) / 2π  

Так как в начале d = 0, то D = 0:  
N = 9 / 2π ≈ 0.477  

Ответ:
1. Угловая скорость диска к концу первой секунды после начала движения составляет 9 рад/с.  
2. Число оборотов, сделанных диском за первую секунду, равно примерно 0.477.
от