Question

Шарик, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колебания на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. Насколько сместится шарик от положения равновесия за время, в течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое? Ответ выразите в сантиметрах и округлите до целых.

Answer 1

Дано: А = 10 см = 0,1 м Ek₁ = 2 * Ek₂

Найти: Δx - смещение шарика от положения равновесия

Решение:

Кинетическая энергия шарика при гармонических колебаниях:

Ek = (1/2) * m * ω² * A² * sin² (ωt + φ)

где m - масса шарика, ω - угловая частота колебаний, A - амплитуда колебаний, t - время, φ - начальная фаза колебаний.

По условию задачи, кинетическая энергия уменьшилась вдвое:

Ek₂ = Ek₁ / 2

Следовательно,

(1/2) * m * ω² * A² * sin² (ωt + φ) = (1/4) * m * ω² * A² * sin² (ωt + φ) sin² (ωt + φ) = 1/2

Учитывая, что sin² α = (1/2) * (1 - cos 2α), получаем:

1 - cos 2(ωt + φ) = 1/2 cos 2(ωt + φ) = 1/2 2(ωt + φ) = π/3 ωt + φ = π/6

Смещение шарика от положения равновесия:

x = A * cos (ωt + φ)

Подставляя полученное значение (ωt + φ) = π/6, получаем:

x = A * cos (π/6) = A * √3/2 = 0,1 м * √3/2 = 0,0707 м ≈ 7 см

Ответ: 7 см