Дано:
m = 10 г = 0,010 кг (масса кубика)
(Wп)max = 0,20 Дж (максимальная потенциальная энергия пружины)
Найти:
Среднюю скорость vср движения кубика между крайними положениями.
Решение:
1. Максимальная потенциальная энергия пружины определяется формулой:
(Wп)max = (1/2) * k * A^2,
где k — жесткость пружины, A — амплитуда колебаний.
2. Для того чтобы найти среднюю скорость кубика, необходимо воспользоваться тем, что он совершает гармонические колебания между крайними положениями. Средняя скорость vср в этом случае может быть выражена как:
vср = S / T,
где S — расстояние между крайними положениями (2A), а T — период колебаний.
3. Период T связан с жесткостью пружины и массой кубика по формуле:
T = 2 * π * sqrt(m / k).
4. Прежде чем подставлять значения, выразим k из уравнения для максимальной потенциальной энергии:
k = (2 * (Wп)max) / A^2.
5. Для нахождения A, используем формулу для максимальной потенциальной энергии:
A^2 = (2 * (Wп)max) / k.
6. Сначала найдем k через A:
A = sqrt((2 * (0,20)) / k).
7. Так как мы не знаем k, но знаем, что max потенциальная энергия равна Wп, можем использовать следующее:
При полном колебании, потенциальная энергия равна максимальной потенциальной энергии в крайних положениях (где скорость равна нулю):
(1/2) * k * A^2 = Wп.
8. Теперь можем выразить среднюю скорость на основе полного расстояния между крайними положениями:
S = 2A.
9. Найдем T:
T = 2 * π * sqrt(m / k),
10. Подставив A в vср, получаем:
vср = (2A) / T.
11. Заменим T:
vср = (2A) / (2 * π * sqrt(m / k)) = (A * sqrt(k/m)) / π.
12. Учитывая, что k можно выразить через Wп:
k = 2Wп / A^2.
13. Таким образом, заменяем k в скорости:
vср = (A * sqrt(2Wп / (A^2 * m))) / π.
14. Упростим уравнение:
vср = sqrt((2Wп) / (m * π^2)).
15. Подставляя известные значения:
vср = sqrt((2 * 0,20) / (0,010 * π^2)).
16. Вычисляем π^2 ≈ 9,87:
vср = sqrt(0,40 / (0,010 * 9,87)).
17. Упрощаем:
vср = sqrt(0,40 / 0,0987) ≈ sqrt(4,05) ≈ 2,01 м/с.
Ответ:
Средняя скорость движения кубика между крайними положениями составляет примерно 2,01 м/с.