Дано:
Амплитуда A = 12 см = 0,12 м.
Максимальная кинетическая энергия E_kin_max = (1/2) * k * A^2.
Кинетическая энергия уменьшилась в 2 раза, тогда E_kin = E_kin_max / 2.
Найти:
Смещение x от положения равновесия, когда кинетическая энергия уменьшилась в 2 раза.
Решение:
1. Найдем максимальную кинетическую энергию. Кинетическая энергия в максимальной точке определяется как:
E_kin_max = (1/2) * m * v_max^2,
где v_max - максимальная скорость шарика.
Известно, что v_max = ω * A, где ω - угловая частота колебаний. Угловая частота определяется как:
ω = sqrt(k / m).
Однако для нахождения смещения x, нам достаточно работать с кинетической и потенциальной энергией.
2. Кинетическая энергия на данном смещении x:
E_kin = E_kin_max - E_pot,
где потенциальная энергия определяется как:
E_pot = (1/2) * k * x^2.
Так как E_kin + E_pot = E_kin_max, мы можем записать:
E_kin = E_kin_max - (1/2) * k * x^2.
3. Подставим E_kin:
E_kin_max / 2 = E_kin_max - (1/2) * k * x^2.
4. Упростим уравнение:
E_kin_max / 2 = (1/2) * k * A^2 - (1/2) * k * x^2.
5. Умножим на 2:
E_kin_max = k * A^2 - k * x^2.
6. Подставим значение E_kin_max:
k * A^2 = 2 * E_kin_max.
Таким образом, мы можем выразить x^2:
k * x^2 = k * A^2 - E_kin_max.
7. Подставим A = 0,12 м:
k * x^2 = k * (0,12)^2 - (1/2) * k * (0,12)^2.
8. Упрощаем:
k * x^2 = (1/2) * k * (0,12)^2.
9. Отменим k:
x^2 = (1/2) * (0,12)^2.
10. Вычисляем x:
x^2 = (1/2) * 0,0144 = 0,0072.
x = sqrt(0,0072) ≈ 0,08485 м = 8,485 см.
Ответ:
Шарик сместится от положения равновесия примерно на 8,49 см.