Дано: масса груза на пружине m = 0,1 кг, увеличение потенциальной энергии пружины в 9 раз.
Найти: масса груза, которую нужно прикрепить к первому грузу.
Решение:
Пусть m1 - масса груза, которую нужно прикрепить к первому грузу.
Пусть k - коэффициент упругости пружины.
Потенциальная энергия пружины выражается формулой: Eп = (1/2)kx^2,
где x - удлинение пружины.
Поскольку потенциальная энергия пропорциональна квадрату удлинения, то при увеличении потенциальной энергии в 9 раз, удлинение пружины увеличивается в √9 = 3 раза.
Таким образом, новая удлиненая пружина будет длиннее в 3 раза по сравнению с первоначальным состоянием.
Из закона Гука следует, что удлинение пружины пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально жесткости пружины:
F = kx,
где F - сила, действующая на пружину.
При увеличении массы груза на пружине с увеличением потенциальной энергии в 9 раз, имеем: (1/2)kx^2 = 9(1/2)kx^2,
отсюда x^2 = 9x^2,
или x = 3x.
Так как удлинение увеличилось в 3 раза, то и сила, действующая на пружину, увеличилась в 3 раза.
Из закона сохранения энергии имеем: ΔEп = mgΔh,
где ΔEп - изменение потенциальной энергии пружины, m - масса груза, g - ускорение свободного падения, Δh - изменение высоты.
Так как потенциальная энегрия увеличилась в 9 раз, то ΔEп = 9mgΔh.
С учетом того, что сила на верхнем грузе увеличилась в 3 раза, а с учетом того, что второй груз был дополнительно прикреплен к первому, то имеем m1 = m + m = 2m.
Тогда 9mgΔh = 1/2 k (3x)^2,
или 9mgΔh = k 9x^2,
или 9mgΔh = kx^2,
сокращая на девятки по обе стороны, получаем mgΔh = 1/2kx^2.
Таким образом, mΔh = 1/2kx^2,
или m*3Δh = 1/2k*(3x)^2,
отсюда m*3Δh = 9/2kx^2,
или m*3Δh = 1/2kx^2,
следовательно m = m/2.
Таким образом, масса груза, которую нужно дополнительно прикрепить к первому грузу, чтобы потенциальная энергия пружины увеличилась в 9 раз, равна 0,1 кг / 2 = 0,05 кг.
Ответ: 0,05 кг.