а) Дано: n = 5, k = 3
Найти P(выпадет ровно 3 орла).
Решение:
P(выпадет ровно 3 орла) = С(n, k) * (1/2)^k * (1/2)^(n-k) = C(5, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(5-3) = 10 * (1/8) * (1/8) = 10/64 = 5/32.
Ответ: P(выпадет ровно 3 орла) = 5/32.
б) Дано: n = 5, k = 2, m = 3
Найти P(выпадет не менее 2, но не более 4 орлов).
Решение:
P(2 <= выпадет орлов <= 4) = P(выпадет 2 орла) + P(выпадет 3 орла) + P(выпадет 4 орла)
= C(5, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(5-2) + C(5, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(5-3) + C(5, 4) * (1/2)^4 * (1/2)^(5-4)
= 10 * (1/4) * (1/8) + 10 * (1/8) * (1/2) + 5 * (1/16) * (1/2)
= 5/16 + 5/16 + 5/32
= 15/32.
Ответ: P(выпадет не менее 2, но не более 4 орлов) = 15/32.
в) Дано: n = 5, k = 1, m = 3
Найти P(выпадет либо 1 решка, либо 3 решки).
Решение:
P(выпадет 1 решка или 3 решки) = P(выпадет 1 решка) + P(выпадет 3 решки)
= C(5, 1) * (1/2)^1 * (1/2)^(5-1) + C(5, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(5-3)
= 5 * (1/2) * (1/16) + 10 * (1/8) * (1/4)
= 5/32 + 10/32
= 15/32.
Ответ: P(выпадет либо 1 решка, либо 3 решки) = 15/32.
г) Дано: n = 5
Найти P(орел выпадет нечетное число раз).
Решение:
P(орел выпадет нечетное число раз) = P(выпадет 1 орел) + P(выпадет 3 орла) + P(выпадет 5 орлов)
= C(5, 1) * (1/2)^1 * (1/2)^(5-1) + C(5, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(5-3) + C(5, 5) * (1/2)^5 * (1/2)^(5-5)
= 5 * (1/2) * (1/16) + 10 * (1/8) * (1/8) + 1
= 5/32 + 10/64 + 1
= 5/32 + 5/32 + 1
= 11/32.
Ответ: P(орел выпадет нечетное число раз) = 11/32.
д) Дано: n = 5, k = 3, m = 4
Найти P(решка выпадет не менее 3 раз).
Решение:
P(решка выпадет не менее 3 раз) = P(выпадет 3 решки) + P(выпадет 4 решки) + P(выпадет 5 решек)
= C(5, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(5-3) + C(5, 4) * (1/2)^4 * (1/2)^(5-4) + C(5, 5) * (1/2)^5 * (1/2)^(5-5)
= 10 * (1/8) * (1/8) + 5 * (1/16) * (1/2) + 1
= 10/64 + 5/32 + 1
= 5/32 + 5/32 + 1
= 11/32.
Ответ: P(решка выпадет не менее 3 раз) = 11/32.
е) Дано: n = 5, k = 2, m = 1
Найти P(либо ровно 2 раза выпадет решка, либо ровно 1 раз выпадет орел).
Решение:
P(ровно 2 раза выпадет решка или ровно 1 раз выпадет орел) = P(выпадет 2 решки) + P(выпадет 1 орел)
= C(5, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(5-2) + C(5, 1) * (1/2)^1 * (1/2)^(5-1)
= 10 * (1/4) * (1/8) + 5 * (1/2) * (1/16)
= 5/32 + 5/32
= 10/32
= 5/16.
Ответ: P(либо ровно 2 раза выпадет решка, либо ровно 1 раз выпадет орел) = 5/16.