Дано: D(S) < 1/4n
Найти: Вероятность успеха р, при которой выполняется равенство D(S) = 1/4n
Решение:
Дисперсия случайной величины S в серии из п испытаний Бернулли определяется формулой D(S) = npq, где n - количество испытаний, p - вероятность успеха в одном испытании, q = 1 - p - вероятность неудачи в одном испытании.
Так как D(S) < 1/4n, то npq < 1/4n.
Учитывая, что q = 1 - p, получаем np(1-p) < 1/4.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: np - np^2 < 1/4.
Перенесем все в левую часть неравенства: np - np^2 - 1/4 < 0.
Приведем дробь к общему знаменателю: 4np - 4np^2 - 1 < 0.
Умножим обе части на -1, чтобы поменять знак неравенства: 4np^2 - 4np + 1 > 0.
Дискриминант квадратного уравнения 4n^2 - 4*4n = n^2 - 4n.
Условие существования действительных корней: D ≥ 0, то есть n^2 - 4n ≥ 0, что эквивалентно n(n-4) ≥ 0.
Таким образом, имеем два интервала, в которых неравенство выполнено: n ≤ 0 и n ≥ 4.
Ответ: неравенство D(S) < 1/4n выполняется при вероятности успеха p на интервалах (0, 1/4) и (3/4, 1).