Дано: Серия из п испытаний Бернулли с вероятностью успеха р.
Найти:
a) При каком р дисперсия числа успехов наибольшая возможная?
б) Наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов.
Решение:
a) Для выражения дисперсии DS = npq, где n - количество испытаний, p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи (q = 1-p), можно записать как у = п(р - р^2).
Первая производная от этого выражения по р:
dy/dp = 1 - 2р.
Находим точку экстремума, приравнивая первую производную к нулю:
1 - 2р = 0,
2р = 1,
р = 1/2.
b) Для нахождения наибольшего возможного стандартного отклонения числа успехов используем формулу стандартного отклонения: σ = √DS.
Подставляем полученное значение р = 1/2 в формулу для дисперсии:
DS = npq = (p * p * (1-p)).
Тогда DS = (1/2 * 1/2 * (1-1/2)) = 1/8.
Стандартное отклонение:
σ = √DS = √(1/8) = 1/√8.
Ответ:
a) Дисперсия числа успехов будет иметь наибольшую возможную величину при р = 1/2.
b) Наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов равно 1/√8.