Question

В отрезке ВС случайным образом выбирается точка А. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит отрезку ОМ, где О—середина отрезка ВС, а М— середина отрезка ОВ.

Answer 1

Дано: AB = BC = 2a (длина отрезка ВС)

Найти: P(точка А принадлежит отрезку ОМ)

Решение:

1. Найдем длину отрезка OM:
   OM = (1/2) * OB = (1/2) * (OD + DB) = (1/2) * (a + a) = a

2. Точка А принадлежит отрезку ОМ, если ее расстояние до точки О меньше либо равно a и ее расстояние до точки M меньше либо равно a.

3. Рассмотрим треугольники AOM и AOB:
   AO = x
   OM = a
   AM = a
   BO = a
   AB = 2a

   По неравенству треугольника:
   AM ≤ AO + OM
   a ≤ x + a
   x ≥ 0

   AM ≤ AB + BM
   a ≤ 2a + x
   x ≥ -a

   Отсюда видно, что x должно принадлежать отрезку [0, a].

4. Вероятность того, что точка А принадлежит отрезку ОМ, равна отношению длины этого отрезка к длине всего отрезка ВС:
   P = a / 2a = 1/2

Ответ: вероятность того, что точка А принадлежит отрезку ОМ, равна 1/2.