Дано:
Жесткость пружины: k = 10³ Н/м
Масса груза: m = 4 г = 4 * 10⁻³ кг
Выполненная работа: W = 72 Дж
Найти:
Уравнение колебаний груза и его координаты в указанные моменты времени.
Решение:
Уравнение колебаний груза, прикрепленного к пружине, можно получить с использованием закона Гука и второго закона Ньютона.
Закон Гука гласит:
F = -kx
где F - сила, действующая на груз, x - смещение груза от положения равновесия, k - жесткость пружины.
Второй закон Ньютона гласит:
F = ma
где m - масса груза, a - ускорение груза.
Сила, совершающая работу, может быть выражена как:
W = (1/2)kx²
где x - амплитуда колебаний (максимальное смещение груза от положения равновесия).
Разрешая уравнение W = (1/2)kx² относительно x, получим:
x = sqrt((2W)/k)
Подставляя значения, получаем:
x = sqrt((2 * 72) / 10³)
x = sqrt(144 / 1000)
x = sqrt(0.144)
x ≈ 0.38 м
Уравнение колебаний груза имеет вид:
x(t) = x * cos(ωt + φ)
где x(t) - координата груза в момент времени t, ω - циклическая частота колебаний (ω = sqrt(k/m)), φ - начальная фаза колебаний (φ = 0, так как груз был отпущен из положения равновесия).
Подставляя значения в уравнение колебаний, получаем:
x(t) = 0.38 * cos(sqrt(10³/0.004) * t)
Теперь можем определить координаты груза в указанные моменты времени:
a) t = 2π/3 мс:
x(2π/3) = 0.38 * cos(sqrt(10³/0.004) * (2π/3))
b) t = π/3 мс:
x(π/3) = 0.38 * cos(sqrt(10³/0.004) * (π/3))
c) t = 3π мс:
x(3π) = 0.38 * cos(sqrt(10³/0.004) * (3π))
Ответ:
Уравнение колебаний груза: x(t) = 0.38 * cos(sqrt(10³/0.004) * t)
Координаты груза в указанные моменты времени:
a) x(2π/3) = 0.38 * cos(sqrt(10³/0.004) * (2π/3))
b) x(π/3) = 0.38 * cos(sqrt(10³/0.004) * (π/3))
c) x(3π) = 0.38 * cos(sqrt(10³/0.004) * (3π))