Для доказательства этого факта, давайте предположим, что значение скорости молекулы равно значению наиболее вероятной скорости в функции распределения Максвелла.
Функция распределения Максвелла для скорости молекулы выражается следующим образом:
F(v) = 4π(v^2)(m/(2πkT))^3/2 * exp(-mv^2/(2kT))
где v - скорость молекулы, m - масса молекулы, k - постоянная Больцмана, T - температура.
Наиболее вероятная скорость v_p можно найти, взяв производную этой функции и приравняв ее к нулю:
dF(v)/dv = 0
После дифференцирования и упрощения у нас получится уравнение:
v_p = (2kT/m)^1/2
Таким образом, если значение скорости молекулы равно наиболее вероятной скорости, то v = v_p.
Для того чтобы убедиться, что функция распределения Максвелла достигает максимального значения при этом значении, мы можем взять вторую производную функции распределения по скорости и убедиться, что значение максимума достигается при v = v_p.
Следовательно, функция распределения Максвелла достигает максимального значения при значении скорости молекулы, равном наиболее вероятному значению скорости.