Дано:
d = 6·10^-3 мм = 6·10^-6 м
λ = 0,486 мкм = 0,486·10^-6 м
Найти: ∆λ
Решение:
Для нахождения ∆λ используем формулу дифракционной решетки:
dsinθ = mλ,
где d - период решетки, θ - угол дифракции, m - порядок спектра, λ - длина волны.
Находим угол дифракции для максимального значения ∆λ, который соответствует случаю, когда разность длин волн (∆λ) не приводит к перекрытию спектров. При этом условии разность углов дифракции для ближайших спектральных линий максимальна:
d(sin(θ + ∆θ) - sinθ) = (m+1)∆λ,
где ∆θ - разность углов дифракции для соседних спектральных линий.
Поскольку d sinθ = mλ, то (m+1)∆λ можно заменить на d(sin(θ + ∆θ) - sinθ), и получим:
d(sin(θ + ∆θ) - sinθ) = dλ,
sin(θ + ∆θ) - sinθ = λ/λ,
Разложим разность синусов по формуле тригонометрического тождества:
2cos(∆θ/2)sin(θ + ∆θ/2) = λ/λ,
sin(θ + ∆θ/2) = λ/(2λcos(∆θ/2)).
Таким образом, находим значение sin(θ + ∆θ/2):
sin(θ + ∆θ/2) = λ/(2λcos(∆θ/2)).
Исходя из предположения, что ∆θ/2 мало, можно сделать приближение cos(∆θ/2) ≈ 1. Тогда
sin(θ + ∆θ/2) ≈ λ/(2λ).
Отсюда находим значение sin(θ + ∆θ/2) и, зная, что θ мал, находим угол ∆θ/2:
∆θ/2 ≈ sin^(-1)(λ/(2λ)).
Далее, зная угол ∆θ/2, можем найти ∆λ:
∆λ = 2λsin(∆θ/2).
Подставляем известные значения и находим ∆λ:
∆λ = 2 * 0,486·10^-6 м * sin(sin^(-1)(0,5)),
∆λ = 2 * 0,486·10^-6 м * 0,5,
∆λ = 0,486·10^-6 м.
Ответ:
Наибольшая разность длин волн ∆λ составляет 0,486 мкм.