Дано:
В чулане имеется п пар ботинок.
Из них случайно выбираются 2r ботинок, где 2r < n.
Найти:
а) Вероятность того, что среди выбранных ботинок нет парных.
б) Вероятность того, что среди выбранных ботинок имеется ровно одна пара.
Решение:
а) Вероятность того, что среди выбранных ботинок нет парных:
Общее количество способов выбрать 2r ботинок из п пар (по сочетаниям):
C(p, 2r) = p! / (2r)! * (p - 2r)!
Теперь рассмотрим количество способов выбрать 2r ботинок без парных:
Для первого ботинка можно выбрать любой из (p - 1) ботинков (выбираем один из п, кроме одной пары), для второго ботинка можно выбрать любой из (p - 3) оставшихся ботинков (выбираем один из оставшихся после исключения пары и двух уже выбранных ботинков), и так далее.
Таким образом, количество способов выбрать 2r ботинок без парных:
(p - 1)(p - 3)(p - 5)...(p - 2r + 1)
Итак, вероятность того, что среди выбранных ботинок нет парных:
P(нет парных) = ((p - 1)(p - 3)(p - 5)...(p - 2r + 1)) / C(p, 2r)
б) Вероятность того, что среди выбранных ботинок имеется ровно одна пара:
Выбрать одну пару ботинок можно C(p, 2r - 2) способами. После этого, из оставшихся (p - 2) ботинок нужно выбрать еще (2 - 2r) ботинок без пары, что можно сделать C(p - 2, 2 - 2r) способами.
Итак, вероятность того, что среди выбранных ботинок имеется ровно одна пара:
P(ровно одна пара) = (C(p, 2r - 2) * C(p - 2, 2 - 2r)) / C(p, 2r)
Ответ:
а) Вероятность того, что среди выбранных ботинок нет парных: P(нет парных) = ((p - 1)(p - 3)(p - 5)...(p - 2r + 1)) / C(p, 2r)
б) Вероятность того, что среди выбранных ботинок имеется ровно одна пара: P(ровно одна пара) = (C(p, 2r - 2) * C(p - 2, 2 - 2r)) / C(p, 2r)